【日本一分かりやすい】微分とは何か、の超絶ざっくりイメージ


こんにちは。Яeiです。
今回は微分って何かをイメージベースで説明したいと思います。

目次

目次
今いるのはここです
当記事の目的
当記事での目的について説明致します。
結論
結論を述べさせて頂きます。
詳細説明
詳細な説明をさせて頂きます。
まとめ
最後にまとめさせて頂きます。

当記事の目的

Яei

当記事では微分とは何かについてイメージベースで説明させて頂きます。
微分から数学が分からなくなっていきました・・・

かねごんくん

Яei

微分積分あたりは数学のつまずくポイントになってきますね。ここでは微分のイメージを見て行きましょう。正直拍子抜けするくらい簡単です。

結論

微分とは
傾きを求める必殺技のことである。
?????

かねごんくん

Яei

ちゃんと解説するので頑張って詳細説明まで読んでみて下さい。笑

詳細説明

1.直線の傾きとは

微分とは傾きを求める必殺技です。この説明をするにあたって、傾きの定義を忘れてしまった方もいると思うのでここで復習します。

直線の傾きとは
$$ (直線の傾き)=\frac{yの増加量}{xの増加量} $$
例えばy=xについて見てみると、原点からx軸の正方向に1増えるとyは1増加します。そのため、

$$ (y=xの傾き)=\frac{yの増加量}{xの増加量}  = \frac{1}{1}  = 1 $$

となり、傾きは1になります。

こんな感じで直線の傾き(変化の割合)を求めるのは容易です。

y=axの傾きは\(a\)である、と覚えている人もいると思いますが、
定義はあくまでも\( \frac{yの増加量}{xの増加量} \) となります。x方向に1進むとy方向にa進むので傾きはa、というのが定義からの結果になります。y=axの傾きはaと暗記するのは構いませんがこの考え方は押さえておきましょう。

2.坂道の傾きを例に

先ほどの直線の傾きの話は定義をベースに話を進めたので少し小難しくなっておりますが、傾きのイメージは普通の「傾き」のイメージです。
例えば、「この坂道は傾きが急だな」とか「この机傾いているな」とかのイメージです。地面を水平としてそれに対して傾いている、というイメージと数学のイメージは同じです。

先ほどのy=xの例だと、「どのくらい傾いているの?」という質問に対して結構傾いているので「結構傾いてます!」と答えるとおそらく「結構ってどのくらい?」と聞かれるので先ほどの定義で「どのくらい」を明確にしているのです。

さて、ここで問題があります。直線の場合は傾きはどの地点でも一定なのですが(どのx地点でもどのくらい傾いているかは一緒)、曲線の場合の傾きはどうでしょうか。例えばx=0地点の人に「どのくらい傾いているか」を聞くとおそらく「傾いてない」と答えるでしょう。x=1地点の人に「どのくらい傾いているか」を聞くと「結構傾いてる」と答えるでしょう。

このように、直線でない場合、位置によって傾き度合いが異なってきます。

困ったなぁ。曲線の傾きを求める関数とかないかなぁ。と思った際に「微分」を使うと曲線に対する傾きを求める関数が作成できるのです(正確には関数は導関数と呼ばれます)。

参考 【初心者】イメージで理解する数学の関数World Knowledge Library

3.微分の定義

曲線の傾きも基本的には直線の場合の傾きの定義と大きな違いはありません。

直線の傾きとは
$$ (直線の傾き)=\frac{yの増加量}{xの増加量} $$
例えば\( y=x^2 \)の「x=a地点の傾きは?」という問題を考えてみましょう。aに物凄く近いbを考えてみましょう(例えばa=1だった場合、bとして1.0000・・・・001)みたいな値を)。
この時、地点aと地点bはもはや直線と言ってもよいでしょう(あまりに近すぎるの)。つまり、自ずと地点aの傾きは\( \frac{yの増加量}{xの増加量} \) で表せるのです。式にすると、

$$ (y=x^2のa地点の傾き)=\frac{b^2-a^2}{b-a}  = \frac{(b-a)(b+a)}{b-a}  = b+a $$

ここでbをaにくっつけてしまいましょう(厳密には正しくありませんが)。
b=aとなって、

$$ (y=x^2のa地点の傾き) = 2a $$

となりました。

これは暗記してました。そういえば学校でもこういった導入をしてましたがそもそも微分とは何かわかっていない時期だったので忘れてしまってました。

かねごんくん

4.そもそも傾きが分かって何が嬉しいのか

そもそも論ですが、ある地点における傾きが求められて何が嬉しいのでしょうか。正直傾いているから何?といった感じです・・・

かねごんくん

Яei

そうですね。例えば2020年度から流行している新型コロナウイルスの時間に伴う感染者数を表す数式があった場合、その時点で微分を使うことで傾きが求まります。すると傾きが緩やかであればその後は収束に向かっていくとか、急速に増えていくとか未来の予測ができます。微分とは傾きを求める必殺技と言いましたが将来を予測するための必殺技、とも言えますね。

5.補足

今回はイメージベースでの理解を追求したため、厳密性は捨てております。
もしもより詳細に知りたいですとか、正確に知りたい!みたいな方は以下サイトが参考になると思いますのでご参照ください。

参考 導関数の意味といろいろな例高校数学の美しい物語

また、微分は傾きだ!のイメージをより詳細にされたい方は以下のサイトもおすすめです。

参考 「微分とは何か」をわかりやすく解説 – ”微分は傾き”の意味を理解しよう!数学の面白いこと・役に立つことをまとめたサイト

まとめ

微分とは傾きを求める必殺技